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Géométrie repérée
Projeté orthogonal d'un point sur une droite
Point cours
On rappelle que :- Un vecteur directeur d’une droite d’équation cartésienne $ \ ax+by+c=0$ (avec $(a;b) \ne (0;0) )$ est $ \vec{u} \begin{pmatrix} -b \\a \end{pmatrix}$.
- Un vecteur directeur $ \vec{n}$ d’une droite d’équation cartésienne $ \ ax+by+c=0$ (avec $(a;b) \ne (0;0) )$ est $ \vec{n} \begin{pmatrix} a \\b \end{pmatrix}$.
Dans plan muni d’un repère orthonormé, on considère la droite $(d)$ d’équation $x$ $y$$=0$ et le point $A$ de coordonnées (; ).
Soit $H$ le projeté orthogonal de $A$ sur la droite $(d)$.
1. Déterminer une équation de la droite $(d_1)$ perpendiculaire à $(d)$ passant par $A$.
2. Calculer les coordonnées de H.
1.
Un vecteur directeur de la droite $(d)$ est :
| $ \vec{u} $ |  |
 |
|
Comme $(d)$ et $(d_1)$ sont perpendiculaires, le vecteur $ \vec{u} $ qui est un vecteur de $(d)$, est aussi un vecteur à $(d_1)$.
Une équation de $(d_1)$ est donc de la forme:
Vous mettrez bien votre équation sous la forme $ \ ax+by+c=0$ et laisserez le $c$ comme inconnu...
Or, $A$ est un point de $(d_1)$ donc ces coordonnées vérifient l'équation de $(d_1)$.
On trouve ainsi $c = $ .
Une équation de $(d_1)$ est donc: .
2.
$H$ est le point d’intersection de $(d)$ et de $(d_1)$.
Ses coordonnées $(x ; y)$ vérifient l'équation de ces deux droites, ce qui nous donnent le système suivant:
 |
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Mettez votre système sous la forme:
| |
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On va résoudre ce système avec la méthode par substitution car un des coefficients des inconnues vaut 1...
On peut écrire notre système comme cela (l'équation 2 reste inchangée):
| |
$ x = $ |
En injectant la valeur de $x$ dans la seconde équation, on obtient ainsi une équation du 1er degré en y:
| |
$ x = $ |
| $($$)$ $y = $ |
Ce qui nous permet de trouver le couple $(x ; y )$ solution de notre système:
| |
$ x = $ |
| $ y = $ |
Vous arrondirez vos résultats au centième.
Ainsi, les coordonnées du projeté orthogonal de $A$ sur $(d)$ sont:
| $ H $ | |
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|
Vous arrondirez vos résultats au centième.