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Chapitre 6: Variables aléatoires discrètes finies
Variables aléatoires et loi de probabilité
Point cours
Définition :$\Omega$ désigne l’univers d’une expérience aléatoire ( l’ensemble des issues possibles) ; on a défini une loi de probabilité sur cet univers. On définit une variable aléatoire X sur Ω lorsque l’on associe un nombre réel à chaque issue.
Exemple :
Dans une urne, il y a 3 boules rouges, 2 boules bleues et une boule jaune.On tire au hasard une boule dans cette urne.
Pour une boule rouge tirée, on gagne 1€, pour une boule bleu, on gagne 3€ et pour une boule jaune, on perd 2€.
On définit ainsi une variable aléatoire X qui prend les valeurs : 1, 3 et -2.
On notera {X= $x_i$} (par exemple {X = 1}) l’événement « la valeur $x_i$, est obtenue »( par exemple « la valeur 1, est obtenue » et {X< $x_i$} l’événement « toutes les valeurs strictement inférieur à $x_i$, sont obtenues ».
Définition :
Si $x_1$, … , $x_n$ désignent les valeurs prises par X, on note X= $x_i$ les issues pour lesquelles X prend la valeurs $x_i$. On note $P(X = x_i)$ la probabilité de cet événement.
La loi de probabilité est donnée par les $x_i$ et les $P(X = x_i)$ (i allant de 1 à n).
On représente généralement la loi de probabilité par un tableau :
| Valeurs prises par la variable aléatoire X : $x_i$ | $x_1$ | ... | $x_i$ | ... | $x_n$ |
| Probabilité associée $P(X = x_i)$ | $P(X = x_1)$ ou $p_1$ |
... | $P(X = x_i)$ ou $p_i$ |
... | $P(X = x_n)$ ou $p_n$ |
Remarques :
- La somme des probabilité doit toujours être égale à 1.
- Pour vérifier que vous avez une loi de probabilité, vous devez vérifier que vous avez bien toutes les issues listées dans votre tableau, qu’aucune probabilité n’est négative et que la somme des probabilités fait bien 1.
Dans notre exemple, on obtient le tableau suivant:
| Gain ou perte | 1 | 3 | -2 |
| Probabilité associée $P(X = x_i)$ | $\frac{1}{2}$ | $\frac{1}{3}$ | $\frac{1}{6}$ |
Exercice:
, et .
Si le rouge sort, le joueur gagne €, si c'est le bleu, il gagne € et si c'est le jaune, il perd €.
On appelle X la variable aléatoire qui désigne le gain du joueur.
Remplir le tableau de loi de probabilité suivant:
| Gain ou perte | |||
| Probabilité associée $P(X = x_i)$ |
Vous présenterez vos résultats obligatoirement sous forme de fraction réduite.
Pour $\frac{2}{3}$, vous écrirez 2/3.